Probabilidad Condicional e Inducción

Según la epistemología Bayesiana estándar, un ser racional debería modificar sus grados de creencia de acuerdo con la nueva evidencia adquirida siguiendo el Principio de Condicionalización. Dado que el Bayesianismo modela los grados de creencia en términos del cálculo de probabilidades, el principio de condicionalización seguirá el modelo de la Probabilidad Condicional. La probabilidad condicional es simplemente la probabilidad de que un evento A ocurra, dado que otro evento B definitivamente ocurre. En la vida cotidiana hacemos un uso intuitivo de la noción de probabilidad condicional cuando formulamos preguntas tales como:

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que llueva esta tarde dado que esta mañana ha estado nublada?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que hoy llegue temprano al trabajo dado que me desperté 15 minutos más tarde que de costumbre?

(c) ¿Cuál es la probabilidad de que dos dados no trucados lanzados sumen 7 dado que por lo menos uno de ellos es par?

La notación usada para representar la probabilidad condicional es P(A│B) y se computa siguiendo la siguiente fórmula (RATIO):

(RATIO): P(A│B) = P(A & B)/P(B) , siempre y cuando P(B) > 0

Como uno podrá notar, la fórmula en cuestión (RATIO) analiza la probabilidad condicional en base a la probabilidad incondicional de los eventos A y B. Sin embargo, no todos aceptan esta idea. Uno de ellos es Alan Hájek [ver su “What Conditional Probability Could Not Be” PDF]. Entre las muchas razones que Hájek ofrece en contra de (RATIO) están 4 intuiciones fundamentales que (RATIO) viola y que –según él– ninguna función probabilística debería violar:

(1) P(Z, dado que Z) = 1.

En otras palabras, la probabilidad de que un evento Z ocurra, dado que Z definitivamente ocurre es 1. Por ejemplo, supongamos que lanzamos un dardo infinitamente delgado al intervalo [0,1]. Supongamos que la probabilidad de que el dardo caiga en cualquier punto del intervalo es uniforme (medida Lebesgue). ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo caiga en el punto 1/4 dado que definitivamente cae en 1/4? La respuesta obvia es 1. Sin embargo, si usamos (RATIO) obtenemos lo siguiente (Z = Dardo cae en el punto 1/4):

P(Z│Z) = P(Z & Z)/P(Z) = P(Z)/P(Z) = indefinido/indefinido = indefinido.

(2) P(Z^c, dado que Z) = 0.

En otras palabras, la probabilidad de que un evento Z no ocurra, dado que Z definitivamente ocurre es 0. Por ejemplo, supongamos que lanzamos una moneda no trucada y ésta cae exactamente a las 7:05:03 PM. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga CARA a las 7:05:03 PM dado que cayó SELLO a las 7:05:03 PM? La respuesta obvia es 0. Si usamos (RATIO) obtenemos lo siguiente (Z = Moneda cae SELLO a las 7:05:03 PM):

P(~Z│Z) = P(~Z & Z)/P(Z) = 0/0.5 = 0.

Sin embargo, supongamos que P(Z) = indefinido (por ejemplo, supongamos, como en el caso anterior, que Z = Dardo cae en el punto 1/4). Si aplicamos (RATIO) obtendremos:

P(~Z│Z) = P(~Z & Z)/P(Z) = 0/indefinido = indefinido.

(3) P(T, dado que Z) = 1, donde T es una tautología.

En otras palabras, la probabilidad de que una tautología sea verdadera, dado que Z definitivamente ocurre es 1. La razón es obvia: las tautologías son necesariamente verdaderas. Si Z es un evento contingente con probabilidad menor que 1, (RATIO) no nos dará como resultado 1.

(4) P(F, dado que Z) = 0, donde F es una contradicción.

En otras palabras, la probabilidad de que una contradicción sea verdadera, dado que Z definitivamente ocurre es 0. La razón es obvia: las contradicciones son necesariamente falsas. Si Z es un evento con probabilidad 0, (RATIO) nos dará como resultado indefinido.

En todos estos casos hay un evidente divorcio entre los resultados de (RATIO) y ciertas intuiciones no-negociables. Hájek piensa que ésta es evidencia en contra de (RATIO) y, luego de ofrecer otros contraejemplos, concluye que la probabilidad condicional debería ser tomada como primitiva y que la probabilidad incondicional debería ser analizada en términos de la misma.

Creo que Hájek está en lo correcto cuando afirma que las proposiciones (1) – (4) expresan verdades no-negociables. Sin embargo, no creo que las mismas presenten problema alguno a (RATIO). La razón es la siguiente: (RATIO) es una regla de inferencia inductiva, i.e., (RATIO) nos dice cómo deberíamos modificar nuestros grados de creencia a medida que recibimos más y más evidencia. Sin embargo, la verdad de (1) – (4) depende del hecho de que ellas se derivan directamente de verdades lógicas. Por lo tanto, no están sujetas a (RATIO). Si estoy en lo correcto, la explicación de la verdad de (1) – (4) sería más o menos la siguiente:

(1) P(Z, dado que Z) = 1.

Esta fórmula es verdadera ya que (Z → Z) es una tautología. En (1) la segunda Z no es un nuevo evento o una nueva evidencia. (1) sólo contiene un evento: Z. Por lo tanto, la formulación condicional de (1) es sólo aparente. (RATIO) no se aplica a un solo evento.

(2) P(Z^c, dado que Z) = 0.

Esta fórmula es verdadera ya que (Z → ~Z) es falsa cuando Z es verdadera. La verdad de (2) se deriva de la siguiente proposición: Si ╞ Z, entonces P(~Z) = 0. Nuevamente, lo que determina el valor de verdad de (2) es la relación lógica entre Z y ~Z. Por lo tanto, (RATIO) no se aplica a este caso.

(3) P(T, dado que Z) = 1, donde T es una tautología.

(4) P(F, dado que Z) = 0, donde F es una contradicción.

En ambos casos, lo que gobierna nuestras intuiciones es el hecho de que T es una tautología y F es una contradicción. Si (RATIO) es una regla de inferencia inductiva, tampoco es aplicable a estos casos.

Si estas observaciones están en el camino correcto (nótese la estructura condicional de esta oración), (1) – (4) no son evidencia en contra de (RATIO). Con esto no estoy sugiriendo que la conclusión final de Hájek sea incorrecta (“la probabilidad condicional debería ser tomada como primitiva y la probabilidad incondicional debería ser analizada en términos de ésta”). Mi sospecha es simplemente que (1) – (4) son irrelevantes para establecer la verdad de esta conclusión. ¿Estoy en lo correcto?

El Principio de Indiferencia

En uno de los comentarios a mi post anterior mencioné que usualmente la respuesta ‘1/3’ al Problema de la Bella Durmiente asume una versión problemática del Principio de Indiferencia (PI) [mucha gente que cree que la respuesta es ‘1/2’ también asume PI]. Quisiera ahora elaborar un poco lo que quise decir. En su versión más cruda, PI dice lo siguiente:

(PI) Si no hay una diferencia relevante entre dos resultados o hipótesis, no existe una razón suficiente para creer más en uno que en el otro.

De acuerdo a PI, se sigue que, en el caso mencionado, un agente racional debería asignarle el mismo grado de creencia (probabilidad subjetiva) a ambos resultados o hipótesis. Sin embargo, PI tiene serios problemas (el más notorio quizás se deba a la Paradoja de Bertrand). No voy a ahondar en esos problemas aquí. Lo que quiero recalcar es que la moraleja de los mismos es que PI tiene que ser restringido de alguna manera a fin de que sea verdadero. Adam Elga no se ocupa de esto en su artículo sobre la Bella Durmiente, pero sí lo hace en su artículo “Defeating Dr. Evil With Self-Locating Belief” (PDF). El ejemplo que usa es el siguiente:

El Dr. Evil quiere destruir la Tierra. Enterados de esto, un grupo de filósofos le envían un mensaje informándole que ellos han construido un duplicado del Dr. Evil. En dicho mensaje le dicen que el duplicado –al que ellos creativamente han bautizado “Dup”– tiene, en cada en cada instante, los mismos estados mentales (es decir, las mismas creencias, percepciones, recuerdos, etc.) que el Dr. Evil. Incluso –le dicen– tanto el Dr. Evil como Dup están recibiendo en aquel mismo instante este mensaje. El mensaje termina con la siguiente advertencia: “Si en los próximos 10 minutos Dup desactiva la bomba con la que pretende destruir la Tierra, lo trataremos bien. De lo contrario, será torturado.” El Dr. Evil, que está seguro de que los filósofos nunca mienten y cuya tolerancia al dolor físico es mínima, se encuentra en un serio dilema: ¿debería desactivar la bomba o no?

La respuesta de Elga es que el Dr. Evil debería desactivar la bomba, ya que debería tener el mismo grado de creencia de que él es el Dr. Evil o Dup. La respuesta de Elga se basa en una versión restringida de PI. La idea fundamental de su versión restringida de PI podría expresarse así:

(PI*) Si toda la evidencia a la que un agente racional puede tener acceso es insuficiente para decidir si dicho agente es A o B o C o… todas estas posibilidades deberían recibir el mismo grado de creencia por parte del agente en cuestión. [Restricción: tanto A como B como C, … existen en el mismo mundo posible.]

¿Quién podría dudar de la verdad de PI*? El problema es que si PI* es verdadero, todos deberíamos ser escépticos con respecto a nuestra identidad personal: si nuestro universo es infinito, es perfectamente posible que en algún lugar remoto exista un duplicado exacto de nosotros, cuyos estados mentales sean idénticos a los nuestros en cada momento. El que uno no suela pensar en estas cosas o el que esta posibilidad suene descabellada, es independiente del hecho de que sea perfectamente posible. Pero si esto es así, se sigue de PI* que deberíamos tener el mismo grado de creencia de que somos o el original o el duplicado. Brian Weatherson sostiene que PI* es falso (ver “Should We Respond to Evil With Indifference?” PDF). Uno de sus contraejemplos a PI* es el siguiente:

Supongamos que tienes un número infinito de duplicados en el universo (nuevamente, si el universo es infinito, esta posibilidad no es del todo descabellada). Supongamos que la cantidad de duplicados es numerable, es decir, que tienes un duplicado por cada número natural. Llamemos a cada uno de estos duplicados D₁, D₂… D_n (asumamos que D₁ es el “original”). Si esto es así, PI* te dice que deberías tener el mismo grado de creencia de que eres uno (cualquiera) de esos infinitos duplicados. Por lo tanto, la probabilidad de que seas D_x es 1/n, donde ‘n’ es el número total de duplicados. Pero si dividimos 1 entre infinito, obtenemos 0. ¡Absurdo! ¡Tú tienes que ser uno de ellos! En otras palabras, tienes que asignarle probabilidad 1 a la siguiente proposición “Yo soy D₁ o D₂ o … o D_n” (por el Axioma de Aditividad Numerable). [En realidad, n no puede ser infinito, ya que el infinito no es un número, ni el resultado puede ser 0 sino, en todo caso, un número que se aproxima a 0... pero, informalmente, creo que se entiende la idea... ¿o quizás no? De repente aquí esta el problema… mmmmm...]. En consecuencia, o rechazamos PI* o rechazamos el Axioma de Aditividad Numerable. Weatherson sostiene que debemos rechazar PI*. ¿Está en lo correcto?

Nota:

El Axioma de Aditividad Numerable dice lo siguiente: Si S es un conjunto numerable de proposiciones y 2 miembros cualesquiera de S son incompatibles entre si, la probabilidad de que un miembro de S sea verdadera es igual a la suma de las probabilidades de cada miembro de S. En otras palabras, si los miembros de S son p₁, p₂, …, entonces Pr(p₁ ∨ p₂ ∨ …) = Pr(p₁) + Pr(p₂) + …

El Problema de la Bella Durmiente

Adam Elga propone el siguiente problema: supongamos que la Bella Durmiente va ha ser sometida al siguiente experimento: ella va ha ser puesta a dormir el Domingo por la noche y va ha ser despertada brevemente el Lunes por la mañana. Cuando la despierten el Lunes, nadie le va ha decir que es Lunes. En ese momento se lanzará una moneda no trucada y, sin que ella vea el resultado, será puesta nuevamente a dormir. Si la moneda cayó Cara, se la dejará dormir tranquila hasta que el experimento termine el Miércoles por la mañana. Sin embargo, si cayó Sello, se le administrará una droga que borrará sus recuerdos del día anterior y se la despertará el Martes por la mañana. El efecto de la droga será una amnesia parcial de tal manera que cuando la despierten el Martes, ella no recordará que fue despertada el Lunes (esto es lo único que olvidará). Es decir, si cae Sello, cuando despierte el Martes ella no sabrá que no es Lunes. Si los tres posibles escenarios en los que será despertada (Cara-Lunes, Sello-Lunes y Sello-Martes) son indistinguibles desde su punto de vista y además:

a) La Bella Durmiente es perfectamente racional.

b) El Domingo por la noche, antes de que se vaya a dormir, se le dice todos los detalles de este experimento (es decir, se le dice todo lo que aquí he narrado).

Pregunta: En el instante en el que ella despierte el Lunes por la mañana, ¿qué grado de creencia (probabilidad subjetiva) debería ella otorgarle a la hipótesis de que la moneda cayó Cara?

Respuesta 1: 1/2. La Bella Durmiente sabía el Domingo por la noche que la moneda no estaba trucada y, por lo tanto, le asignó el grado de creencia (probabilidad subjetiva) de 1/2. Puesto que al ser despertada el Lunes por la mañana, no recibió ninguna información nueva, el grado de creencia que ella debería asignarle a la hipótesis de que la moneda cayó Cara debería seguir siendo 1/2. En otras palabras, la probabilidad subjetiva y la probabilidad objetiva deberían coincidir.

Respuesta 2: 1/3. Supongamos que el experimento se llevara a cabo muchas veces. Dado que la moneda no es trucada, la mitad de las veces caerá Cara y la otra mitad caerá Sello. Sin embargo, como de todas las veces que caiga Sello, una mitad es Sello-Lunes y la otra es Sello-Martes, la Bella Durmiente debería asignarle 1/3 a cada posible escenario (es decir, 1/3 a Cara-Lunes, 1/3 a Sello-Lunes y 1/3 a Sello-Martes). Por lo tanto, debería asignarle 1/3 a la hipótesis de que la moneda cayó Cara.

¿Cuál es la respuesta correcta? Adam Elga sostiene que la Respuesta 2 es la correcta. David Lewis piensa que la Respuesta 1 es la correcta. ¿Con quién estás de acuerdo? [Lo que motiva mi pregunta es pura curiosidad].