Jerarquías Tarskianas y Lenguajes Naturales

El viernes de la semana pasada tuve una discusión interesante sobre la posibilidad de hacer uso de la estrategia Tarskiana para bloquear la paradoja del mentiroso en los lenguajes naturales. Como se sabe, Tarski pensaba que la característica del predicado ‘verdadero(a)’ que lleva a la paradoja del mentiroso es su universalidad, i.e., el hecho de que puede ser aplicado a cualquier oración, incluyendo a aquellas de las cuales él mismo es parte. Esto es lo que lleva a Tarski a pensar que la noción ordinaria de verdad es incoherente e incluso sugiere que es un defecto de los lenguajes naturales el que contengan dicho predicado.

La estrategia que Tarski emplea a fin de bloquear la paradoja del mentiroso en los lenguajes formales consiste en restringir dichos lenguajes. Muy brevemente, su estrategia puede ser ilustrada así: sea L un lenguaje de primer orden sin predicados semánticos (e.g., ‘refiere’, ‘denota’, ‘verdadero(a)’, etc.), mecanismos de auto-referencia o indexicales. Sea M un lenguaje que contenga a L y los recursos que le permitan referirse y estudiar a L. La idea central de Tarski es la de definir un predicado de verdad en M que sea solamente aplicable a todas y cada una de las oraciones verdaderas de L. Tarski llamará a L ‘el lenguaje objeto’ y a M ‘el meta-lenguaje’. En pocas palabras, la idea central de Tarski es (i) restringir L de tal manera que no contenga su propio predicado de verdad (u otro predicado semántico), y (ii) definir el predicado de verdad de L en un lenguaje M que contenga a L.

Ahora, supongamos que uno quiera definir un predicado de verdad para todo M. Siguiendo la estrategia Tarskiana, tendríamos que hacerlo en un meta-lenguaje M* que contenga a M y los recursos que le permitan referirse y estudiar a M. De igual manera, si quisiéramos definir un predicado de verdad para M* tendríamos que hacerlo en un meta-lenguaje M^# que satisfaga los requerimientos especificados. Por lo tanto, la aplicación iterativa de la estrategia de Tarski genera, en principio, una jerarquía infinita (no numerable) de lenguajes cada uno de los cuales (i) contiene un predicado de verdad para el lenguaje inmediatamente inferior en la jerarquía, pero (ii) no contiene su propio predicado de verdad. Llamemos a la jerarquía en cuestión ‘jerarquía Tarskiana’.

¿Cómo se podría aplicar la estrategia descrita a un lenguaje natural –digamos al castellano– a fin de bloquear la paradoja del mentiroso en él? La sugerencia de algunos filósofos es la siguiente: en lugar de pensar en el castellano como un solo lenguaje, podríamos pensarlo como una jerarquía Tarskiana de infinitos sub-lenguajes castellanos (castellano₀, castellano₁, …, castellano_∞), cada uno de los cuales (i) contiene un predicado de verdad para el castellano_i inmediatamente inferior en la jerarquía, pero (ii) no contiene su propio predicado de verdad. Llamemos a la jerarquía en cuestión ‘JC’.

Así el predicado ‘verdadero(a)’ sería infinitamente ambiguo entre los predicados ‘verdadero(a)₀’, ‘verdadero(a)₁’, …, ‘verdadero(a)_∞’. Si usamos esta misma estrategia en todos los lenguajes naturales, bloquearíamos la paradoja del mentiroso en todos ellos. En suma, lo que logramos por medio de este método es lo siguiente:

(a) No existe un solo predicado ‘verdadero(a)’ tal que se aplique solamente a todas y cada una de las oraciones verdaderas de los sub-lenguajes que componen JC.

De todas las objeciones que se han formulado a este uso de Tarski, la siguiente me parece muy interesante. De acuerdo con la estrategia descrita, se sigue que:

(b) Para todo nivel n de JC y para todo nivel m de JC, si n > m, entonces la extensión de ‘verdadero(a)_m’ es un subconjunto propio de la extensión de ‘verdadero(a)_n’.

Nótese que en (b) estamos cuantificando sobre los índices n y m. Esto significa que podemos reemplazar dichos índices por una variable ‘x’ de primer orden y formar el predicado diádico ‘verdadero(a)_x’ aplicable a pares de niveles (sub-lenguajes) y oraciones. Si esto es posible, entonces podemos usar este predicado diádico y formular el siguiente predicado monádico:

(V) Existe un nivel x de JC tal que ‘S’ es verdadera_x

donde ‘S’ es una variable sustitucional de orden superior para el conjunto de las oraciones de JC. Sin embargo, (V) es un predicado que aplica solamente a todas y cada una de las oraciones verdaderas que componen JC. Esto implica que (V) es un predicado de verdad para todo JC, contrariamente a la restricción expresada por (a). Por lo tanto, puesto que el fin mismo del uso de la jerarquía Tarskiana era evitar la posibilidad de formular un predicado de verdad para todo el castellano, la estrategia fracasa.